阶乘计算器
计算阶乘(n!)、排列P(n,r)和组合C(n,r)。免费在线阶乘计算器，包含逐步公式。
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阶乘表 (1-20)
1!1
2!2
3!6
4!24
5!120
6!720
7!5,040
8!40,320
9!362,880
10!3,628,800
11!39,916,800
12!479,001,600
13!6,227,020,800
14!87,178,291,200
15!1,307,674,368,000
16!20,922,789,888,000
17!355,687,428,096,000
18!6,402,373,705,728,000
19!121,645,100,408,832,000
20!2,432,902,008,176,640,000
公式
n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1
P(n,r) = n! / (n-r)!
C(n,r) = n! / (r! × (n-r)!)
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最后更新: 2026年1月
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常见问题
什么是阶乘？如何计算？
阶乘（写作n!）是从1到n的所有正整数的乘积。例如：5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。定义是递归的：n! = n × (n-1)!。阶乘增长极快：10! = 3,628,800，20! = 2,432,902,008,176,640,000。它们是组合数学、概率和代数的基础。需要记住的常见值：1! = 1、2! = 2、3! = 6、4! = 24、5! = 120、6! = 720、7! = 5,040。
为什么0!（零的阶乘）等于1？
零的阶乘等于1是定义，有充分的数学理由：首先，它使递归公式有效：n! = n × (n-1)!，所以1! = 1 × 0!，这意味着0!必须等于1。其次，它表示「排列零个对象有多少种方式」——恰好有一种方式：什么都不做。第三，它保持组合公式有效：C(n,n) = n!/(n!×0!) = 1。这个约定在数学和编程中被普遍使用。
排列和组合有什么区别？
关键区别是顺序是否重要。排列P(n,r)计算顺序重要的排列：从5本书中选择3本并在书架上排列。公式：P(n,r) = n!/(n-r)!。例：P(5,3) = 5!/2! = 60种方式。组合C(n,r)计算顺序不重要的选择：从5人中选择3人组成委员会。公式：C(n,r) = n!/[r!(n-r)!]。例：C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 10种方式。记住：排列总是更大，因为每个组合可以以r!种方式排列。
阶乘在现实生活中哪里使用？
阶乘出现在许多实际应用中：概率计算（彩票概率、纸牌游戏——扑克牌型概率），调度和排列（座位安排、旅游路线——旅行商问题涉及(n-1)!/2条路线），计算机科学（算法复杂度），统计学（二项分布），密码学（密钥空间计算）和DNA测序。即使是简单的问题如「8个人排队有多少种方式？」也使用阶乘：8! = 40,320种排列。
阶乘增长有多快？计算器能处理的最大值是多少？
阶乘比指数函数增长更快——这被称为「超指数」增长。比较：10! ≈ 360万，15! ≈ 1.3万亿，20! ≈ 2.4千京，100!有158位数字。大多数标准计算器在170!左右会溢出（有307位数字）。对于非常大的阶乘，使用斯特林近似：n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n。这个近似对n > 10精确到1%以内。具有任意精度的编程语言（Python、JavaScript BigInt）可以计算更大的阶乘，仅受内存限制。