Máy Tính Giai Thừa

Giai thừa (viết là n!) là tích của tất cả các số nguyên dương từ 1 đến n. Ví dụ: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Định nghĩa là đệ quy: n! = n × (n-1)!. Giai thừa tăng cực kỳ nhanh: 10! = 3.628.800 và 20! = 2.432.902.008.176.640.000. Chúng là nền tảng trong tổ hợp, xác suất và đại số. Các giá trị thường gặp cần nhớ: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5.040.

Giai thừa của không bằng 1 theo định nghĩa, và có lý do toán học tốt: Thứ nhất, nó làm cho công thức đệ quy hoạt động: n! = n × (n-1)!, nên 1! = 1 × 0!, nghĩa là 0! phải bằng 1. Thứ hai, nó đại diện cho 'có bao nhiêu cách sắp xếp không đối tượng'—có đúng một cách: không làm gì cả. Thứ ba, nó giữ công thức tổ hợp hợp lệ: C(n,n) = n!/(n!×0!) = 1. Quy ước này được sử dụng phổ biến trong toán học và lập trình.

Sự khác biệt chính là thứ tự có quan trọng không. Hoán vị P(n,r) đếm các sắp xếp mà thứ tự quan trọng: chọn 3 cuốn sách từ 5 và xếp lên kệ. Công thức: P(n,r) = n!/(n-r)!. Ví dụ: P(5,3) = 5!/2! = 60 cách. Tổ hợp C(n,r) đếm các lựa chọn mà thứ tự không quan trọng: chọn 3 người từ 5 vào ủy ban. Công thức: C(n,r) = n!/[r!(n-r)!]. Ví dụ: C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 10 cách. Nhớ rằng: hoán vị luôn lớn hơn vì mỗi tổ hợp có thể sắp xếp theo r! cách.

Giai thừa xuất hiện trong nhiều ứng dụng thực tế: Tính xác suất (xác suất trúng xổ số, trò chơi bài—xác suất tay poker), lập lịch và sắp xếp (sơ đồ chỗ ngồi, lộ trình—bài toán người bán hàng có (n-1)!/2 tuyến), khoa học máy tính (độ phức tạp thuật toán), thống kê (phân phối nhị thức), mật mã học và giải trình tự DNA. Ngay cả câu hỏi đơn giản như '8 người có thể xếp hàng theo bao nhiêu cách?' cũng dùng giai thừa: 8! = 40.320 cách.

Giai thừa tăng nhanh hơn hàm mũ—gọi là tăng trưởng 'siêu mũ'. So sánh: 10! ≈ 3,6 triệu, 15! ≈ 1,3 nghìn tỷ, 20! ≈ 2,4 tỷ tỷ, 100! có 158 chữ số. Hầu hết máy tính tràn số ở khoảng 170! (307 chữ số). Đối với giai thừa rất lớn, dùng xấp xỉ Stirling: n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n. Xấp xỉ này chính xác trong 1% với n > 10.