Máy Tính Tổ Hợp (nCr)

Tổ hợp đếm các lựa chọn mà thứ tự không quan trọng—chọn các lá bài A, B, C giống như C, B, A. Hoán vị đếm các sắp xếp mà thứ tự quan trọng—ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA là 6 hoán vị khác nhau. Với n phần tử lấy r: tổ hợp = n!/(r!(n-r)!), hoán vị = n!/(n-r)!. Hoán vị luôn ≥ tổ hợp. Dùng tổ hợp cho đội, hội đồng, số xổ số; dùng hoán vị cho xếp hạng, mã PIN, kết quả đua.

Công thức là nCr = n! / (r! × (n-r)!). Ví dụ, 5C3 (chọn 3 từ 5): 5! / (3! × 2!) = 120 / (6 × 2) = 10. Phím tắt: viết r số lớn nhất theo thứ tự giảm dần và chia cho r!. Vậy 5C3 = (5×4×3) / (3×2×1) = 60/6 = 10. Tính chất chính: nC0 = nCn = 1, nC1 = n, và nCr = nC(n-r). Máy tính này xử lý phép tính giai thừa tự động.

Xổ số: Chọn 6 số từ 45 = 45C6 = 8.145.060 tổ hợp (đó là lý do giải độc đắc hiếm). Bài poker: 5 lá từ 52 = 52C5 = 2.598.960 bộ bài có thể. Chọn đội: Chọn 5 cầu thủ chính từ 12 = 12C5 = 792 cách. Topping pizza: Chọn 3 từ 10 topping = 10C3 = 120 tổ hợp. Thành lập hội đồng: Chọn 4 thành viên từ 20 ứng viên = 20C4 = 4.845 hội đồng có thể.

Theo quy ước, 0! = 1. Điều này giúp công thức tổ hợp hoạt động đúng: nCn = n! / (n! × 0!) = 1 (chọn tất cả các phần tử cho đúng 1 cách). Nó cũng bảo toàn quy luật n! = n × (n-1)!, nên 1! = 1 × 0! có nghĩa là 0! = 1. Về mặt toán học, 0! đếm số cách sắp xếp không phần tử nào—có đúng một cách để không làm gì.

Hỏi: 'Thứ tự lựa chọn có quan trọng không?' Nếu chọn thành viên hội đồng với vai trò bình đẳng → tổ hợp (thứ tự không quan trọng). Nếu phân công Chủ tịch, Phó, Thư ký → hoán vị (thứ tự quan trọng). Nếu chọn số xổ số → tổ hợp (1-2-3 thắng như 3-1-2). Nếu tạo mã PIN → hoán vị (123 khác 321). Bài kiểm tra khác: đổi chỗ hai phần tử đã chọn có cho kết quả 'khác' không? Nếu có, dùng hoán vị. Nếu không, dùng tổ hợp.