เครื่องคิดเลขแฟกทอเรียล

แฟกทอเรียล (เขียนเป็น n!) คือผลคูณของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง n ตัวอย่าง: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 คำจำกัดความเป็นแบบเรียกซ้ำ: n! = n × (n-1)! แฟกทอเรียลเติบโตเร็วมาก: 10! = 3,628,800 และ 20! = 2,432,902,008,176,640,000 เป็นพื้นฐานในการเรียงสับเปลี่ยน ความน่าจะเป็น และพีชคณิต ค่าทั่วไปที่ควรจำ: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5,040

แฟกทอเรียลของศูนย์เท่ากับ 1 ตามคำจำกัดความ และมีเหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่ดี: หนึ่ง ทำให้สูตรเรียกซ้ำใช้งานได้: n! = n × (n-1)! ดังนั้น 1! = 1 × 0! หมายความว่า 0! ต้องเท่ากับ 1 สอง แสดงถึง 'มีกี่วิธีในการจัดเรียงศูนย์วัตถุ'—มีทางเดียว: ไม่ทำอะไรเลย สาม รักษาสูตรการรวมกันให้ถูกต้อง: C(n,n) = n!/(n!×0!) = 1 กฎนี้ใช้อย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์และการเขียนโปรแกรม

ความแตกต่างหลักคือลำดับสำคัญหรือไม่ การเรียงสับเปลี่ยน P(n,r) นับการจัดเรียงที่ลำดับสำคัญ: เลือก 3 เล่มจาก 5 และวางบนชั้น สูตร: P(n,r) = n!/(n-r)! ตัวอย่าง: P(5,3) = 5!/2! = 60 วิธี การรวมกัน C(n,r) นับการเลือกที่ลำดับไม่สำคัญ: เลือก 3 คนจาก 5 สำหรับคณะกรรมการ สูตร: C(n,r) = n!/[r!(n-r)!] ตัวอย่าง: C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 10 วิธี จำไว้: การเรียงสับเปลี่ยนมากกว่าเสมอเพราะแต่ละการรวมกันจัดเรียงได้ r! วิธี

แฟกทอเรียลปรากฏในการประยุกต์ใช้จริงหลายอย่าง: การคำนวณความน่าจะเป็น (โอกาสถูกลอตเตอรี่ เกมไพ่—ความน่าจะเป็นของมือโป๊กเกอร์) การจัดตารางและการจัดเรียง (แผนผังที่นั่ง เส้นทางท่องเที่ยว—ปัญหาพนักงานขายมี (n-1)!/2 เส้นทาง) วิทยาการคอมพิวเตอร์ (ความซับซ้อนของอัลกอริทึม) สถิติ (การแจกแจงทวินาม) วิทยาการรหัสลับ และการจัดลำดับ DNA แม้คำถามง่ายๆ อย่าง '8 คนยืนเข้าแถวได้กี่วิธี?' ก็ใช้แฟกทอเรียล: 8! = 40,320

แฟกทอเรียลเติบโตเร็วกว่าฟังก์ชันเลขยกกำลัง—เรียกว่าการเติบโต 'ซูเปอร์เอ็กซ์โพเนนเชียล' เปรียบเทียบ: 10! ≈ 3.6 ล้าน, 15! ≈ 1.3 ล้านล้าน, 20! ≈ 2.4 ควินทิลเลียน, 100! มี 158 หลัก เครื่องคิดเลขส่วนใหญ่ล้นที่ประมาณ 170! (307 หลัก) สำหรับแฟกทอเรียลขนาดใหญ่มาก ใช้การประมาณสเตอร์ลิง: n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n การประมาณนี้แม่นยำภายใน 1% สำหรับ n > 10