팩토리얼 계산기

팩토리얼(n!로 표기)은 1부터 n까지의 모든 양의 정수의 곱입니다. 예: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. 정의는 재귀적입니다: n! = n × (n-1)!. 팩토리얼은 매우 빠르게 증가합니다: 10! = 3,628,800, 20! = 2,432,902,008,176,640,000. 조합론, 확률, 대수학의 기본입니다. 암기할 일반적인 값: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5,040.

영의 팩토리얼이 1인 것은 정의에 의한 것이며, 수학적으로 좋은 이유가 있습니다: 첫째, 재귀 공식이 작동하게 합니다: n! = n × (n-1)!이므로 1! = 1 × 0!, 따라서 0!은 1이어야 합니다. 둘째, '0개의 객체를 배열하는 방법이 몇 가지인가'를 나타냅니다—정확히 한 가지: 아무것도 하지 않는 것입니다. 셋째, 조합 공식을 유효하게 유지합니다: C(n,n) = n!/(n!×0!) = 1. 이 규칙은 수학과 프로그래밍에서 보편적으로 사용됩니다.

핵심 차이점은 순서가 중요한지 여부입니다. 순열 P(n,r)은 순서가 중요한 배열을 셉니다: 5권에서 3권을 선택하여 선반에 배열. 공식: P(n,r) = n!/(n-r)!. 예: P(5,3) = 5!/2! = 60가지. 조합 C(n,r)은 순서가 중요하지 않은 선택을 셉니다: 5명에서 3명을 위원회로 선택. 공식: C(n,r) = n!/[r!(n-r)!]. 예: C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 10가지. 기억하세요: 각 조합은 r!가지로 배열될 수 있으므로 순열은 항상 더 큽니다.

팩토리얼은 많은 실용적 응용에 나타납니다: 확률 계산(복권 확률, 카드 게임—포커 패 확률), 일정 및 배열(좌석 배치, 여행 경로—외판원 문제는 (n-1)!/2 경로 포함), 컴퓨터 과학(알고리즘 복잡도), 통계학(이항 분포), 암호학(키 공간 계산), DNA 시퀀싱. '8명이 줄을 서는 방법은 몇 가지인가?'와 같은 간단한 질문도 팩토리얼을 사용합니다: 8! = 40,320가지.

팩토리얼은 지수 함수보다 빠르게 증가합니다—이를 '초지수적' 증가라고 합니다. 비교: 10! ≈ 360만, 15! ≈ 1.3조, 20! ≈ 2.4경, 100!은 158자리입니다. 대부분의 표준 계산기는 170!(307자리) 근처에서 오버플로됩니다. 매우 큰 팩토리얼의 경우 스털링 근사를 사용하세요: n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n. 이 근사는 n > 10에서 1% 이내로 정확합니다.