조합 계산기 (nCr)

조합은 순서가 중요하지 않은 선택을 셉니다—카드 A, B, C를 선택하는 것은 C, B, A와 같습니다. 순열은 순서가 중요한 배열을 셉니다—ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA는 6개의 다른 순열입니다. n개에서 r개를 취할 때: 조합 = n!/(r!(n-r)!), 순열 = n!/(n-r)!. 순열은 항상 조합 이상입니다. 팀, 위원회, 복권 번호에는 조합을; 순위, PIN 코드, 경주 결과에는 순열을 사용하세요.

공식은 nCr = n! / (r! × (n-r)!)입니다. 예를 들어 5C3 (5에서 3 선택): 5! / (3! × 2!) = 120 / (6 × 2) = 10. 단축법: 상위 r개의 숫자를 내림차순으로 쓰고 r!로 나눕니다. 따라서 5C3 = (5×4×3) / (3×2×1) = 60/6 = 10. 핵심 성질: nC0 = nCn = 1, nC1 = n, nCr = nC(n-r). 이 계산기는 팩토리얼 계산을 자동으로 처리합니다.

로또: 45개에서 6개 숫자 선택 = 45C6 = 8,145,060 조합 (그래서 1등이 드문 것). 포커 핸드: 52장에서 5장 = 52C5 = 2,598,960 가능한 핸드. 팀 선발: 12명 선수에서 5명 선발 = 12C5 = 792가지. 피자 토핑: 10가지에서 3가지 선택 = 10C3 = 120 조합. 위원회 구성: 20명 후보에서 4명 선택 = 20C4 = 4,845 가능한 위원회.

관례상 0! = 1입니다. 이렇게 하면 조합 공식이 올바르게 작동합니다: nCn = n! / (n! × 0!) = 1 (모든 항목을 선택하면 정확히 1가지 방법). 또한 n! = n × (n-1)! 패턴을 유지하므로 1! = 1 × 0!은 0! = 1을 의미합니다. 수학적으로 0!은 0개의 항목을 배열하는 방법을 셉니다—아무것도 하지 않는 방법은 정확히 1가지입니다. 이 관례는 급수 전개, 확률, 계수 문제 등 수학 전반에 나타납니다.

물어보세요: '선택의 순서가 중요한가?' 모든 역할이 동등한 위원회 구성원을 선택한다면 → 조합 (순서 중요하지 않음). 회장, 부회장, 서기를 배정한다면 → 순열 (순서 중요). 복권 번호를 선택한다면 → 조합 (1-2-3이 3-1-2와 같이 당첨). PIN 코드를 만든다면 → 순열 (123과 321은 다름). 또 다른 테스트: 선택된 두 항목을 교환하면 '다른' 결과가 나올까요? 예라면 순열, 아니오라면 조합을 사용하세요.