Fakultätsrechner
Berechne Fakultäten (n!), Permutationen P(n,r) und Kombinationen C(n,r). Kostenloser Fakultätsrechner mit Schritt-für-Schritt-Formeln.
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Fakultätstabelle (1-20)
1!1
2!2
3!6
4!24
5!120
6!720
7!5,040
8!40,320
9!362,880
10!3,628,800
11!39,916,800
12!479,001,600
13!6,227,020,800
14!87,178,291,200
15!1,307,674,368,000
16!20,922,789,888,000
17!355,687,428,096,000
18!6,402,373,705,728,000
19!121,645,100,408,832,000
20!2,432,902,008,176,640,000
Formeln
n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1
P(n,r) = n! / (n-r)!
C(n,r) = n! / (r! × (n-r)!)
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Zuletzt aktualisiert: Januar 2026
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Häufig gestellte Fragen
Was ist eine Fakultät und wie berechne ich sie?
Eine Fakultät (geschrieben als n!) ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n. Zum Beispiel: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Die Definition ist rekursiv: n! = n × (n-1)!. Fakultäten wachsen extrem schnell: 10! = 3.628.800 und 20! = 2.432.902.008.176.640.000. Sie sind grundlegend in der Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Algebra. Häufige Werte zum Merken: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5.040.
Warum ist 0! (Null Fakultät) gleich 1?
Null Fakultät ist per Definition gleich 1, und es gibt gute mathematische Gründe: Erstens macht es die rekursive Formel funktionsfähig: n! = n × (n-1)!, also 1! = 1 × 0!, was bedeutet, dass 0! gleich 1 sein muss. Zweitens repräsentiert es 'wie viele Möglichkeiten gibt es, null Objekte anzuordnen'—es gibt genau eine Möglichkeit: nichts tun. Drittens hält es die Kombinationsformel gültig: C(n,n) = n!/(n!×0!) = 1. Diese Konvention wird universell in Mathematik und Programmierung verwendet.
Was ist der Unterschied zwischen Permutationen und Kombinationen?
Der Hauptunterschied ist, ob die Reihenfolge wichtig ist. Permutationen P(n,r) zählen Anordnungen, bei denen die Reihenfolge wichtig ist: 3 Bücher aus 5 auswählen und im Regal anordnen. Formel: P(n,r) = n!/(n-r)!. Beispiel: P(5,3) = 5!/2! = 60 Möglichkeiten. Kombinationen C(n,r) zählen Auswahlen, bei denen die Reihenfolge nicht wichtig ist: 3 Personen aus 5 für ein Komitee auswählen. Formel: C(n,r) = n!/[r!(n-r)!]. Beispiel: C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 10 Möglichkeiten.
Wo werden Fakultäten im echten Leben verwendet?
Fakultäten erscheinen in vielen praktischen Anwendungen: Wahrscheinlichkeitsberechnungen (Lottowahrscheinlichkeiten, Kartenspiele—Pokerblatt-Chancen), Terminplanung und Anordnungen (Sitzpläne, Tourenplanung—das Problem des Handlungsreisenden beinhaltet (n-1)!/2 Routen), Informatik (Algorithmuskomplexität), Statistik (Binomialverteilung), Kryptographie (Schlüsselraumberechnung) und DNA-Sequenzierung. Selbst einfache Fragen wie 'Auf wie viele Arten können 8 Personen in einer Reihe stehen?' verwenden Fakultäten: 8! = 40.320 Anordnungen.
Wie schnell wachsen Fakultäten und was ist die größte, die mein Taschenrechner verarbeiten kann?
Fakultäten wachsen schneller als Exponentialfunktionen—dies wird 'super-exponentielles' Wachstum genannt. Vergleich: 10! ≈ 3,6 Millionen, 15! ≈ 1,3 Billionen, 20! ≈ 2,4 Trillionen, 100! hat 158 Ziffern. Die meisten Standardtaschenrechner laufen bei etwa 170! über (das hat 307 Ziffern). Für sehr große Fakultäten verwenden Sie die Stirling-Approximation: n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n. Diese Näherung ist für n > 10 auf 1% genau.