حاسبة التوافيق (nCr)

التوافيق تعد الاختيارات حيث الترتيب لا يهم—اختيار البطاقات A، B، C هو نفسه C، B، A. التباديل تعد الترتيبات حيث الترتيب مهم—ABC، ACB، BAC، BCA، CAB، CBA هي 6 تباديل مختلفة. لـ n عنصر مأخوذة r في المرة: توافيق = n!/(r!(n-r)!)، تباديل = n!/(n-r)!. التباديل دائماً ≥ التوافيق. استخدم التوافيق للفرق، اللجان، أرقام اليانصيب؛ استخدم التباديل للترتيب، رموز PIN، نتائج السباق.

الصيغة هي nCr = n! / (r! × (n-r)!). مثال، 5C3 (اختيار 3 من 5): 5! / (3! × 2!) = 120 / (6 × 2) = 10. اختصار: اكتب أعلى r أرقام تنازلياً واقسم على r!. إذن 5C3 = (5×4×3) / (3×2×1) = 60/6 = 10. خصائص رئيسية: nC0 = nCn = 1، nC1 = n، و nCr = nC(n-r). هذه الحاسبة تتعامل مع رياضيات المضروب تلقائياً.

اليانصيب: اختيار 6 أرقام من 49 = 49C6 = 13,983,816 توفيقة (لهذا الجوائز الكبرى نادرة). أيدي البوكر: 5 بطاقات من 52 = 52C5 = 2,598,960 يد ممكنة. اختيار الفريق: اختيار 5 أساسيين من 12 لاعباً = 12C5 = 792 طريقة. إضافات البيتزا: اختيار 3 من 10 إضافات = 10C3 = 120 توفيقة. تشكيل اللجنة: اختيار 4 أعضاء من 20 مرشحاً = 20C4 = 4,845 لجنة ممكنة.

بالاتفاق، 0! = 1. هذا يجعل صيغة التوافيق تعمل بشكل صحيح: nCn = n! / (n! × 0!) = 1 (اختيار جميع العناصر يعطي طريقة واحدة بالضبط). كما يحافظ على النمط n! = n × (n-1)!، لذا 1! = 1 × 0! يعني أن 0! = 1. رياضياً، 0! يعد طرق ترتيب صفر عناصر—هناك طريقة واحدة بالضبط لعدم فعل شيء.

اسأل: 'هل ترتيب الاختيار مهم؟' إذا كنت تختار أعضاء لجنة حيث الجميع لهم أدوار متساوية → توافيق (الترتيب لا يهم). إذا كنت تعين رئيس، نائب، سكرتير → تباديل (الترتيب مهم). إذا كنت تختار أرقام يانصيب → توافيق (1-2-3 تفوز مثل 3-1-2). إذا كنت تنشئ رمز PIN → تباديل (123 يختلف عن 321). اختبار آخر: هل تبديل عنصرين مختارين سيعطي نتيجة 'مختلفة'؟ إذا نعم، استخدم التباديل. إذا لا، استخدم التوافيق.